[配套K12]2019届高考数学一轮复* 课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用 理(普通高中)

发布时间:2021-09-25 16:29:37

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课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用

(一)普通高中适用作业

A 级——基础小题练熟练快

1.下列函数中,随 x 的增大,y 的增大速度最快的是( )

A.y=0.001ex

B.y=1 000ln x

C.y=x1 000

D.y=1 000·2x

解析:选 A 在对数函数,幂函数,指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除 B、

C;指数函数中,底数越大,函数增大速度越快,故选 A.

2.用长度为 24 米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则

隔墙的长度为( )

A.3 米

B.4 米

C.6 米

D.12 米

解析:选 A 设隔墙的长为 x(0<x<6)米,矩形的面积为 y *方米,则 y=x×24-2 4x=

2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当 x=3 时,y 取得最大值.故选 A.

3.在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表:

x 0.50 0.99 2.01 3.98

y -0.99 0.01 0.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x

) B.y=x2-1

C.y=2x-2

D.y=log2x

解析:选 D 将 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;将 x=2.01,y=0.98,

代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 4.利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间,年生产的总成本 y(万元)与年产
量 x(吨)之间的关系可*似地表示为 y=1x02 -30x+4 000,则每吨的成本最低时的年产量为

()

A.240 吨

B.200 吨

C.180 吨

D.160 吨

解析:选 B 依题意,得每吨的成本为yx=1x0+4 x000-30,则yx≥2

x 10

·4

x000-30

=10,

当且仅当1x0=4 x000,即 x=200 时取等号,

因此,当每吨成本最低时,年产量为 200 吨.

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5.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,*均每人每年创造产值 t 万元(t 为正 常数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分

流后,继续从事产品 A 生产的员工*均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若

要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )

A.15

B.16

C.17

D.18

解析:选 B 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,每年创造的

产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则由???0<x<100,x∈N*,

??

-x

+1.2x t≥100t,

解得 0<x≤530.

因为 x∈N*,所以 x 的最大值为 16.

6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙

三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析:选 D 根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最 少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时, 里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比 乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对. 7.(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个 面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________m. 解析:设矩形花园的宽为 y m,则4x0=404-0 y,即 y=40-x,矩形花园 的面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当 x=20 m 时,面积最大.
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答案:20 8.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价 付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过 部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,

?? 9,0<x≤3,

则 y=?8+

x-

??8+2.15×5+

+1,3<x≤8, x- +1,x>8,

由 y=22.6,解得 x=9. 答案:9 9.某人根据经验绘制了从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红 柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿________千克. 解析:前 10 天满足一次函数关系,设为 y=kx+b,将点(1,10)

和点(10,30)代入函数解析式得?????1300= =k1+0kb+,b, 解得 k=290,b=790,所以 y=290x+790,则 当 x=6 时,y=1990.
190 答案: 9 10.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常 数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为______ 个. 解析:当 t=0.5 时,y=2,所以 2=e12k, 所以 k=2ln 2,所以 y=e2tln 2, 当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024. 答案:1 024 B 级——中档题目练通抓牢 1.我们定义函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”;定义 y={x}({x} 表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5. 某停车场收费标准为每小时 2 元,即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元,超过一小时,不 超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元,以此类推.若李刚停车时间为 x 小时,则李刚应付费为 (单位:元)( )

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A.2[x+1]

B.2([x]+1)

C.2{x}

D.{2x}

解析:选 C 如 x=1 时,应付费 2 元,

此时 2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除 A、B;

当 x=0.5 时,付费为 2 元,此时{2x}=1,排除 D,故选 C.

2.(2018·福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰

减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千

分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性

探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )

A.8

B.9

C.10

D.11

解析:选 C 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1,则经过 n(n∈N*)个“半衰期”后的

含量为???12???n,由???12???n<1 1000得 n≥10.所以,若探测不到碳 14 含量,则至少经过了 10 个“半

衰期”.故选 C.

3.如图,矩形 ABCD 的周长为 8,设 AB=x(1≤x≤3),线段 MN 的

两端点在矩形的边上滑动,且 MN=1,当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形

的边上滑动一周时,线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G,记 G 围成的

区域的面积为 y,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

解析:选 D 由题意可知点 P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角 均是半径为12的扇形.
因为矩形 ABCD 的周长为 8,AB=x,则 AD=8-22x=4-x, 所以 y=x(4-x)-π4 =-(x-2)2+4-π4 (1≤x≤3), 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分, 且当 x=2 时,y=4-π4 ∈(3,4),故选 D. 4.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位: 元/100 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 教育配套资料 K12

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时间 t

60 100 180

种植成本 Q 116 84 116

根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化

关系.

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.

利用你选取的函数,求得:

(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________;

(2)最低种植成本是________(元/100 kg).

解析:根据表中数据可知函数不单调,所以 Q=at2+bt+c,且开口向上,对称轴 t=

-2ba=60+2180=120,

??3 600a+60b+c=116, 代入数据?10 000a+100b+c=84,
??32 400a+180b+c=116,

?? b=-2.4, 解得?c=224,
??a=0.01.

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120, 最低种植成本是 14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80 5.已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套公寓房月租金定为 3 000 元时,这 70 套公寓房能全部租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍), 就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用 (没有出租的房子不需要花这些费用),则要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为 ________元. 解析:由题意,设利润为 y 元,每套房月租金定为 3 000+50x 元(0≤x≤70,x∈N).则 y = (3 000 + 50x)(70 - x) - 100(70 - x) = (2 900 + 50x)(70 - x) = 50(58 + x)(70 -
x)≤50???58+x+2 70-x???2=204 800,当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,等号成立,故当
每套房月租金定为 3 000+50×6=3 300 元时,可使公司获得最大利润. 答案:3 300 6.某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元,设
生产该产品 x(百台),其总成本为 g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入 r(x)满足 r(x)=???-0.5x2+7x-10.5,0≤x≤7, 假设该产品产销*衡,根据上述统计数
??13.5,x>7, 据规律求:
(1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围?

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(2)工厂生产多少台产品时盈利最大? 解:依题意得 g(x)=x+3, 设利润函数为 f(x),则 f(x)=r(x)-g(x), 所以 f(x)=???-0.5x2+6x-13.5,0≤x≤7,
??10.5-x,x>7, (1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0, 则?????0-≤0x.≤5x72+,6x-13.5>0 或?????x10>.57, -x>0,
即?????0x≤2-x1≤2x7+,27<0 或?????x1>0.75,-x>0, 解得 3<x<10.5. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1 050 台的范围内. (2)当 3<x≤7 时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5, 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. 而当 x>7 时,f(x)<10.5-7=3.5. 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. 7.某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 入成本为 C(x)(万元).当年产量不足 80 千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于 80 千件 时,C(x)=51x+10 x000-1 450.每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生产的商 品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解:(1)由题意可得,当 0<x<80 时,L(x)=0.05×1 000x-???13x2+10x+250???,当 x≥80 时,L(x)=0.05×1 000x-???51x+10 x000-1 450+250???,

??-31x2+40x-250,0<x<80,
即 L(x)=
???1 200-???x+10 x000???,x≥80.

(2)当 0<x<80 时,L(x)=-13(x-60)2+950, ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值,为 950. 当 x≥80 时,L(x)=1 200-???x+10 x000???≤1 200-2

x·10 x000=1 200-200=1

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000,∴当且仅当 x=10 x000,即 x=100 时,L(x)取得最大值,为 1 000.

综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000,即年产量为 100 千件时,该厂在这 一商品的生产中所获利润最大.
C 级——重难题目自主选做 (2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人 民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西 红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位:万元)满足 P=80+4 2a,Q=14a+120,设甲大棚的投入为 x(单位:万元), 每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位:万元). (1)求 f(50)的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大? 解:(1)由题意知甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元, 故 f(50)=80+4 2×50+14×150+120=277.5(万元).

(2)f(x)=80+4 2x+14(200-x)+120=-14x+4 2x+250,

依题意得???x≥20, ??200-x≥20

? 20≤x≤180,

故 f(x)=-14x+4 2x+250(20≤x≤180).

令 t= x,则 t∈[2 5,6 5], y=-14t2+4 2t+250=-14(t-8 2)2+282,

当 t=8 2,即 x=128 时,f(x)取得最大值,f(x)max=282. 所以甲大棚投入 128 万元,乙大棚投入 72 万元时,总收益最大,且最大总收益为 282 万元.

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